사실 구체적인 내용을 우리가 깊게 알 필요는 없습니다. 다만 여기에서 중요한 점은 괴델이 이런 방식으로 기호에 수를 할당함으로써 <Principia Mathematica> 안의 모든 명제를 하나의 정수로 표현할 수 있게 되었다는 것입니다.

또 괴델은 각각의 숫자를 일정한 순서로 묶어서 더 큰 하나의 숫자로 바꿀 수 있는 방법을 고안해 냈습니다. 그리고 그 과정을 거꾸로 되돌릴 수도 있게 만들었습니다. 이런 방식 덕분에 어떤 증명 과정에 들어 있는 문장 여러 개를 각각의 숫자로 바꾼 후 그 숫자들을 하나로 합쳐 증명 과정 전체를 단일한 숫자로 표현할 수 있게 되었습니다.

괴델이 사용한 결합 방식은 다시 되돌릴 수 있는 구조였기 때문에 어떤 증명을 나타내는 숫자가 주어지면 다시 그것을 원래의 문장들로 분해할 수 있습니다.

적합한 명제는 항상 그 논리 체계의 공리를 바탕으로 증명할 수 있어야 합니다. 괴델의 분해 방법을 반복해서 적용하면 어떤 증명이 공리에 기반을 두었는지 여부를 단순한 알고리즘 절차로 판단할 수 있습니다.

즉, 분해 과정을 반복해 나가면서 마지막에 공리만 남도록 하는 것입니다. 그렇게 분해했을 때 공리까지 도달하지 못한다면 원래 명제는 증명 가능하지 않았던 것입니다.