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9.2.4 3차 회선 보간법

고차 다항식을 이용한 보간법은 가중치 함수weight function를 정의하고, 원본 영상의 주변 픽셀 값에 가중치를 곱한 값을 모두 합하여 픽셀 값을 계산하는 방식을 사용한다. 이때 앞에서 설명한 양선형 보간법과 마찬가지로 각 행row에 대하여 보간을 먼저 실시한 후, 거기서 구해진 값들을 이용하여 다시 열column에 대한 보간을 수행하는 방식을 사용한다.

3차 회선 보간법cubic convolution interpolation에서는 모두 16개의 픽셀 값을 참조하여 결과 영상 픽셀의 값을 계산한다. 그림 9-11은 3차 회선 보간법에서 사용되는 원본 픽셀들을 보여준다. 그림 중앙의 검정색 점이 결과 영상에서 참조해야 할 원본 영상의 실수 좌표라면, 그 주변의 16개의 원형 점들이 3차 회선 보간법에서 사용되는 픽셀들을 나타낸다.

그림 9-11 3차 회선 보간에서 참조하는 원본 픽셀들

3차 회선 보간법에서는 총 5번의 보간이 이루어진다. 그림 9-11의 16개 점들을 각 행 단위로 나눠서 보간을 하여 그림 9-11의 삼각형 위치에서의 값을 추정한다. 그리고 4개의 삼각형 위치의 값을 이용하여 세로 방향으로 3차 회선 보간법을 수행하여 파란색 점 위치의 값을 추정하게 된다.

4개의 점에 대하여 3차 회선 보간법을 수행하는 방법은 다음과 같다. 3차 함수를 이용하여 4개의 점에 대한 가중치를 계산하고, 픽셀의 값과 가중치를 곱한 값들의 합으로 결괏값을 계산한다. 이 가중치 함수가 3차 곡선의 모양을 가지기 때문에, 이 보간 방법을 3차 회선 보간이라고 부르는 것이다. 3차 회선 보간에서 사용되는 가중치 함수는 다음과 같다.

앞의 수식에서 a는 -1.0 ≤ a ≤ -0.5의 값을 주로 사용한다. a 값의 변화에 따른 3차 회선 보간법의 가중치 함수의 모양을 그림 9-12에 나타내었다. a 값이 -0.5, -1.0, -2.0으로 변함에 따라 가중치 함수가 미묘하게 변화함을 볼 수 있다. 많은 사람이 3차 회선 보간법을 구현할 때 a 값으로 -0.5를 사용한다.

그림 9-12 3차 회선 보간법을 위한 가중치 함수
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