아마 여러분은 집합론의 기초를 어느 정도 기억하고 있을 것입니다. 집합론은 1960년대 초등학교 수학 교사 사이에서 큰 인기를 끌었고, 이른바 ‘뉴 매스(new math)’ 교육의 일환이었습니다. 반면에 초한수는 들어 본 적 없는 사람이 많을 것입니다. 설령 배운 적이 있다 해도 기억이 희미할 가능성이 큽니다.

칸토어는 무한에는 한 종류만 있는 것이 아니라 여러 종류의 무한대가 존재한다는 사실을 밝혀냈습니다. 또 그는 무한의 종류조차 무한히 많으며, 각 무한대의 크기도 다양하다는 것을 증명했습니다. 우리가 가장 익숙하게 접할 수 있는 무한대는 두 가지로 하나는 자연수의 무한, 다른 하나는 실수처럼 연속적인 수들의 무한입니다.

모든 유리수와 대수적 수(algebraic number)는 자연수와 일대일 대응시킬 수 있기 때문에 이들의 집합은 셀 수 있는 무한입니다. 하지만 칸토어는 실수 전체의 집합은 자연수와 일대일 대응이 불가능하다는 것을 증명했고, 이것으로 실수 집합의 크기가 자연수 집합보다 더 크다는 사실을 밝혀냈습니다.