하지만 기하학 공리화는 성공적으로 이루어졌지만, 수학 전체를 공리화하려는 힐베르트의 목표는 이루어지기 어려웠습니다. 1901년 버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 집합론의 형식을 이용하여 참도 거짓도 아닌 명제를 만들 수 있다는 것을 보였습니다. 이는 힐베르트가 주장한 “결국 우리는 모든 것을 알게 될 것이다.”라는 믿음에 정면으로 반하는 내용입니다. 즉, 러셀은 절대 논리적으로 해답을 알 수 없는 명제⁴를 만들어 냈죠.

힐베르트는 러셀의 역설로 흔들리는 집합론을 지켜 내기 위해 전 세계 수학자에게 간절히 호소했습니다. 그는 “칸토어가 열어 준 이 수학의 낙원에서 그 누구도 우리를 쫓아낼 수 없다!”라고 외치며 집합론을 지키고자 하는 강한 의지를 드러냈습니다. 힐베르트는 그만큼 절실했기에 반대 의견을 가진 이들과 갈등을 빚기도 했으며, 심지어 그들의 학문적 커리어에 타격⁵을 주려고도 했습니다.

아인슈타인은 이런 문제를 지나치게 고민하는 것은 불필요한 일이라고 말했지만 힐베르트는 전혀 다르게 생각했고, 아인슈타인의 의견에 이렇게 반문했습니다. “수학적 사고 자체에 결함이 있다면 우리는 도대체 어디에서 진리와 확신을 찾아야 한단 말인가?”