이 절에서는 행렬식과 역행렬 그리고 이를 이용한 일차방정식의 해를 구하는 방법을 살펴보고자 한다. 앞 절에서 우리는 항등행렬을 살펴봤다. 항등행렬은 항등행렬에 어느 행렬을 곱하면 항상 곱한 행렬이 나오는 신기한 행렬이었다. 이번에는 항등행렬을 어떤 행렬에 곱하는 것이 아니라 다른 두 행렬을 곱해 항등행렬이 나오는 경우를 생각해보자.

AB = I_n

행렬 A는 정방행렬이며 그 값이 주어져 있고, 행렬 I는 항등행렬이다. 이때 행렬 B는 모르는 상태이고 위 식을 통해 B를 구하려고 한다. 이 식을 만족하는 B는 왜 필요할까? 그리고 어떻게 찾을 수 있을까?

만약 A와 I의 값을 알고 있다면 B를 더 쉽게 구할 수 있다. 행렬 A를 어떤 행렬에 곱해서 항등행렬이 나오면 전체적인 식 계산이 훨씬 쉬워지기 때문이다. 이러한 어떤 행렬을 우리는 역행렬이라고 부르며 좀 더 정확한 정의는 다음과 같다. 다음 식을 만족하는 행렬 B가 있는 경우, 행렬 A는 비특이행렬(nonsingular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix), 정칙행렬(regular matrix)이라고 하며, B는 A의 역행렬이 된다.

AB = BA = I_n

이때 A의 역행렬 B는 A^-1로 표시하며 다음을 만족한다.

AA^-1 = A^-1A = I_n