A가 3×3 정방행렬이라면 그때는 소행렬식(minor)⁴과 여인수(cofactor)⁵를 통해 계산할 수 있다.

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([[1., 2.], [3., 4.]])
>>> np.linalg.inv(a)   # 역행렬
array([[-2. , 1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

>>> np.linalg.det(a)   # 행렬식
-2.0000000000000004

행렬식의 결과는 스칼라이고, 행렬 A의 원소의 값에 따라 다양한 값이 될 수 있다. 행렬식이 0이면 어떻게 될까? 이 경우는 1을 0으로 나누는 것이어서 우리가 수학에서 불능(不能)이라고 부르는, 답을 구할 수 없는 경우가 된다. 그렇기 때문에 행렬식이 0이면 역행렬을 구할 수 없다. 그러므로 행렬식을 먼저 계산하는 것은 어떤 행렬이 역행렬을 가질 수 있는지를 알려주는 중요한 정보가 된다.

2.4절에서 행렬이 일종의 함수나 필터의 역할로 주어진 입력을 변환해 결과를 얻을 수 있으며, 그 예로 방정식을 제시하였다. 일차방정식의 해를 행렬로 구하는 내용을 다시 한 번 살펴보자. 우선 방정식이란 주어진 식에서 미지수를 구하는 것을 의미하고, 일차라는 것은 그 미지수가 미지수¹임을 의미한다. 참고로 이차인 경우에는 미지수의 제곱으로 미지수²이 된다. 일차방정식을 푼다는 말은 제곱이 없는 미지수로 구성된 식을 통해 미지수를 알아내는 것을 말한다. 다음 예를 살펴보자.

2x + 3y = 1

x - 2y = 4