3.1.1 함수와 합성 함수

이제 X와 Y의 관계를 함수(function)로 고려하고 함수에 의해서 표현되는 X와 Y의 관계에 대해 조금 더 자세하게 살펴보자. 사실, 함수는 라이프니츠(Leibniz)가 특수한 식을 지칭한 것으로 사용되었다. 이후 오일러(Euler), 코시(Cauchy) 등의 수학자에 의해 그 의미가 일반화되었으며, 디리클레(Dirichlet)에 의해 두 변수 X와 Y에 대하여 원소 x값이 정해지면 y값이 정해질 때 Y를 X의 함수라고 정의되었다. 이 함수에 대한 정의가 우리에게는 좀 더 직관적으로 다가온다. 그리고 함수에서 X, Y가 주어진 두 집합인 경우, X에 속하는 임의의 원소 x와 Y에 속하는 임의의 원소 y로 만든 순서쌍 (x, y)의 집합을 X와 Y의 카르테시안 곱(cartesian product)이라고 한다. 이때 X는 정의역, x는 정의역에 속하는 원소, Y는 공역, y는 치역이라고 부른다. 함수는 X의 모든 원소 x에 Y의 원소 y가 반드시 대응되고, 특히 x에 y가 오직 하나씩 대응되는 특징을 갖고 있다. 이때 함수에서 최대 정의역의 법칙은 y = f(x) 함수의 정의역이 f에 의해 x = a에서 f(a)의 값이 유일하게 결정되는 모든 실수 a의 집합임을 의미한다.

함수의 정의가 아직 낯설 수 있으니 예를 들어 설명하겠다. 앞에서 살펴본 일별로 몇 개가 팔릴지를 알려주는 함수가 있다고 하자. 이 함수는 시점을 입력하면 그 시점의 판매량을 알려준다. 이때 이 함수에서 판매량을 결정하는 날짜들의 집합을 정의역이라 한다.

▲ 그림 3-3 일별 판매량을 알려주는 함수