5.2.1 이항 분포

이항 분포(binomial distribution)를 알아보기 위해 동전 던지기를 다시 살펴보자. 동전을 던지는 경우, 앞면이 나오거나 뒷면이 나오는 경우밖에 없다(물론 동전이 세워질 가능성도 아주 작게나마 있지만, 이 예에서는 일단 배제하기로 하자). 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우가 55%라고 한다면 뒷면은 45%의 가능성을 가지게 된다. 그리고 동전을 두 번 던진 경우, 첫 번째 던진 동전의 결과가 두 번째 던지는 행동에 영향을 주지 않는다. 앞면이 나오면 성공, 뒷면이 나오면 실패라고 하자. 이를 좀 더 정리하면 다음과 같다.

1. 시행의 결과, 한 사건은 성공(S)이고 다른 사건은 실패(F)로서 두 사건은 상호 배타적이다. 앞면이 나오면 뒷면은 나올 수 없다.

2. 각 시행에서 성공이 나타날 확률은 p = P(S), 실패가 나타날 확률은 q = P(F) = 1 - p이다. 성공과 실패가 나타날 확률의 합은 p + q = 1이다. 앞면과 뒷면이 전체 표본 공간을 구성한다.

3. 각 시행은 서로 독립적이다. 먼저 던진 동전이 이후에 던진 동전의 결과에 영향을 주지 않는다.

이러한 동전 던지기와 같은 특성을 갖는 실험을 ‘베르누이 시행’이라고 부르는데, 이항 분포는 바로 베르누이 시행을 여러 번 할 때 그 결과가 나타나는 분포이다. 동전 던지기의 예에서 앞면을 기준으로 동전을 n번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수가 따르는 확률 분포가 된다. 앞면이 안 나오는 경우도 있고 한 번 나오는 경우도 있는데, 각 경우의 확률은 다르고 이 값들은 확률 분포를 통해 나타난다. 그리고 이항 분포의 확률 질량 함수는 다음처럼 표현되는데, 수식은 그냥 눈으로만 확인해보자.