1.2.1 예제: 피해갈 수 없는 동전 던지기

 

모든 통계학 교재에는 동전 던지기 예제가 반드시 들어있으므로 나 역시 이 예제를 먼저 사용하고 치워 버리려 한다. 가령 순진한 여러분이 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률을 확신하지 못한다고 가정해보자(스포일러 주의: 확률은 50%다). 여러분은 실제 앞면이 나올 확률이 존재한다고 믿고 있으나(이를 p라고 부르자), 다만 p가 무엇인지에 대한 사전적인 견해는 없다.

동전을 던지고, 앞면이나 뒷면의 관측 결과를 기록한다. 이것이 관측 데이터다. 흥미로운 질문을 하나 해보자.

 

점점 더 많은 동전을 던지고 관측할수록 p에 대한 우리의 추론은 어떻게 변하는가?

 

더 구체적으로 질문하면, 데이터가 많을 때와 데이터가 거의 없을 때를 비교할 경우 사후확률은 어떠한가? 다음으로 우리는 점점 더 많은 데이터(동전 던지기)를 관측하면서 점차 업데이트된 사후확률의 결과를 그래프로 나타낸다.

사후확률은 곡선으로 표시되고 불확실성은 곡선의 너비에 비례한다. 그림 1-1에서 보듯이 데이터를 관측할수록 사후확률은 점점 이동한다. 결국 데이터(동전 던지기)를 더 많이 관측할수록 확률은 p = 0.5(점선으로 표시) 주변에 점점 가까워진다.