2 지수함수의 평행 이동과 대칭 이동

 

지수함수의 평행 이동

지수함수 y = a^x을 평행 이동하면 어떻게 표현할 수 있을까요? 평행 이동이기 때문에 그래프 모양은 바뀌지 않으면서 위치만 바뀔 것입니다. 즉, 원래의 점 f(x, y) = 0을 (p, q)만큼 이동한다고 하면 f(x - p, y - q) = 0이 됩니다.

 

이를 정리하면 다음과 같습니다.

 

그림 6-4의 ①과 같이 y = a^x에서 원래의 점 f(x, y) = 0에 대해 평행 이동한다고 가정해 봅시다.

 

②와 같이 x축 방향으로 p만큼 평행 이동한다면 x 대신 x - p를 대입하여 f(x - p, y) = 0이 되고,

 

③과 같이 y축 방향으로 q만큼 평행 이동한다면 y 대신 y - q를 대입하여 f(x, y - q) = 0이 됩니다.

 

또 ④와 같이 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행 이동한다면 f(x - p, y - q) = 0이 됩니다.

 

 

그림 6-4 | 지수함수의 평행 이동

 

지수함수의 대칭 이동

지수함수 y = a^x의 대칭 이동은 어떨까요? x축, y축 및 원점을 기준으로 대칭 이동했을 때를 알아봅시다. 지수함수 y = a^x 그래프를 x축에 대칭 이동하면 -y = a^x이 되어 y = -a^x이 됩니다. 또 y축에 대칭 이동하면 y = a^-x이 되고, 원점에 대칭 이동하면 -y = a^-x이 됩니다.

 

이를 정리하면 다음과 같습니다.

 

그림 6-5의 ①과 같이 y = a^x에서 원래의 점 f(x, y) = 0에 대해 대칭 이동한다고 가정해 봅시다.

 

②와 같이 y축에 대해 대칭 이동한다면 x 대신 -x를 대입하여 f(-x, y) = 0이 되고,

 

③과 같이 x축에 대해 대칭 이동한다면 y 대신 -y를 대입하여 f(x, -y) = 0이 됩니다.

 

또 ④와 같이 원점에 대해 대칭 이동한다면 x 대신 -x를, y 대신 -y를 대입하여 f(-x, -y) = 0이 됩니다.

 

 

그림 6-5 | 지수함수의 대칭 이동

 

즉, 지수함수의 그래프는 x축과 만나지 않으며, 반드시 y축을 지나고 그 점은 1 또는 -1입니다.

 

연습 문제

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(1) y = 2^x 그래프를 이용하여 함수 y = 2^x-3 그래프를 그리세요.

(2) y = 2^x-3 그래프를 이용하여 y = -2^x-3 그래프를 그리세요.

 

문제 풀이

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(1) y = 2^x-3 그래프는 지수함수 y = 2^x 그래프에서 x축 방향으로 3만큼 평행 이동한 것입니다. 따라서 y = 2^x-3 그래프는 다음과 같습니다.

 

그림 6-6 | y = 2^x-3 그래프

 

(2) y = -2^x-3 그래프는 지수함수 y = 2^x-3 그래프에서 x축으로 대칭 이동한 것입니다. 따라서 y = -2^x-3 그래프는 다음과 같습니다.

 

그림 6-7 | y = -2^x-3 그래프