선형 종속

선형 종속(linearly dependent) 역시 수식을 사용하여 정의할 수 있습니다. 예를 들어 A = {a₁, a₂, a₃, …, a_n}에 대해 c₁a₁, + c₂a₂, + c₃a₃, + …, + c_na_n = 0을 만족하는 0이 아닌 c₁, c₂, c₃, …, c_n이 존재할 때 a₁, a₂, a₃, …, a_n을 선형 종속이라고 합니다. 이때 선형 종속이 되는 필요충분조건은 S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}에 속하는 적어도 벡터 하나가 S에 속하는 다른 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있어야 합니다. 즉, 두 벡터가 선형 종속이라면 두 벡터를 이용해서 표현할 수 있는 벡터는 둘 중 하나의 벡터 연장일 뿐입니다.

예를 들어 벡터 두 개가 선형 종속인지, 선형 독립인지 알아봅시다.

주어진 벡터 (3, 4), (6, 12) 두 개는 동일선상에서 표현됩니다(동일선상 표현을 co-linear라고 합니다). 벡터 (3, 4), (6, 12)에 -1을 곱하면 그림 10-21의 점선이 됩니다. 즉, 벡터 두 개에 어떤 실수(스칼라)를 곱하더라도 벡터의 생성(span)은 그림 10-21의 직선을 벗어나지 않습니다. 선형 종속의 정의에 따라 두 벡터가 선형 종속이라면 두 벡터를 이용해서 표현할 수 있는 벡터는 둘 중 한 벡터의 연장일 뿐입니다.

그림 10-21 | 두 벡터