좌표 평면은 가로 수직선인 x축과 세로 수직선인 y축을 합쳐 좌표축이라고 하며, 좌표축이 그려진 평면을 좌표 평면이라고 합니다. 좌표 평면에는 수많은 벡터를 표현할 수 있습니다.
벡터가 모여 공간을 형성한 것을 좌표 공간 혹은 벡터 공간이라고 합니다. 이때 같은 공간상에 존재하는 벡터 사이에는 선형 결합 연산이 가능해야 합니다.
벡터 공간에는 좀 더 정확하게 집합 개념이 포함되어 있기 때문에 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
◼︎ 같은 공간에서 선형 결합 연산이 가능한 벡터가 모인 집합
◼︎ 벡터 덧셈과 벡터-스칼라 곱의 연산에 닫혀 있는 벡터의 집합
즉, 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수 배만큼 자유롭게 늘리거나 줄이는 것이 가능한 공간
잠 깐 만 요
벡터 공간을 만족하는 여덟 가지 추가 공리
(1) 덧셈 관련 공리
벡터 공간 V는 덧셈에 대해 닫혀 있음/닫힘성(closed under addition), 즉 a 및 b가 벡터 공간 V에 존재하면 a + b도 V에 존재해야 합니다.
• 가환성(commutativity): a + b = b + a
• 결합성(associativity): (a + b) + c = a + (b + c)
• 영 벡터가 존재: a + 0 = a
• 덧셈 역원이 존재: a + (-a) = 0
(2) 스칼라 관련 공리
벡터 공간 V는 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있음/닫힘성(closed under scalar multiplication), 즉 a가 V에 존재하고 α가 스칼라이면, αa도 V에 존재해야 합니다.
• 스칼라 결합성: α(βa) = (αβ)a
• 단위원: 1 a = a
• 분배성(distributivity): α (a + b) = αa + αb
• 분배성: (α + β) a = αa + βa