3 선형 변환

‘선형적이다’는 영어로 ‘linear하다’고 표현합니다. linear란 line(선)의 형용사 형태로, ‘선형적이다’는 결국 어떤 성질이 변하는 데 그 변수가 1차원적이라는 의미로 유추할 수 있습니다. 즉, 선형성이란 직선과 같은 도형 또는 그와 성질이 비슷한 대상이라는 것으로, 함수에서는 그 모양이 ‘직선’이라는 의미로 사용합니다. 수학에서 선형성은 임의의 수 x, y와 함수 f에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족해야 합니다.

◼︎ 중첩성: f(x + y) = f(x) + f(y)

◼︎ 동질성: 임의의 수 a에 대해 f(ax) = af(x)

그렇다면 선형 변환이란 무엇일까요? 선형 변환은 선형 결합을 보존하는 두 벡터 공간 사이의 함수입니다. 즉, (1) 선형 결합을 보존하는 (2) 두 벡터 공간 사이의 함수에 대한 의미를 이해해야 합니다.

선형 결합이란 다음 두 조건을 만족해야 함을 의미합니다.

◼︎ 합의 법칙:

◼︎ 스칼라 곱의 법칙: