수열의 진동

발산하는 수열 중에서 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 수열을 수열의 진동이라고 합니다. 예를 들어 다음과 같은 수열 {a_n}과 {b_n}이 있다고 가정합니다.

n 값이 커짐에 따라 일반항 a_n과 b_n 값의 변화를 그래프로 그리면 그림 13-6과 같습니다.

그림 13-6 | 수열의 진동

그림 13-6에서 알 수 있듯이 n 값이 무한대로 커질 때 수열 {a_n}의 일반항 (-1)ⁿ 값은 1과 -1이 교대로 나타납니다. 또 n 값이 한없이 커질 때 수열 {b_n}의 일반항 (-1)ⁿ은 그 절댓값이 한없이 커지면 각 항의 부호는 음과 양이 교대로 나타납니다. 따라서 두 수열 {(-1)ⁿ}, {(-1)ⁿ}은 모두 수렴하지 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않습니다.

일반적으로 수열 {a_n}이 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않을 때 수열 {a_n}은 진동한다고 합니다. 즉, 앞의 두 수열 {(-1)ⁿ}, {(-1)ⁿ}은 모두 진동합니다.