길들을 그려 보면 그림 2-1과 같습니다. 확률을 세어 보면 전체 게임에서 빨간 공은 다섯 번, 파란 공은 세 번 뽑습니다. 즉, P(빨간공) = 입니다. 간단하네요. 맞죠? 잠깐만요, 진정하세요! 이렇게 세는 방식은 각 단계가 동일한 확률을 가진 경우에만 제대로 동작합니다. 우리가 가진 동전에 뭔가 이상이 있어 1000번 던지면 999번이 항아리 U_I을 선택했다고 합시다. 그러면 빨간 공을 뽑는 확률은 U_I에서 빨간 공을 뽑는 확률과 매우 비슷하게 될 것입니다. 즉, 항아리 U_II의 존재를 거의 무시하는 것과 비슷한 결과가 되는 것이죠. 이러한 차이점을 감안해야 하며, 이 과정에서 얻을 수 있는 갱신된 정보를 사용해야 합니다.

이번에는 조금 다른 상황입니다. 이미 동전을 던져 앞이 나왔기 때문에 항아리 U_I을 고른 상태입니다. 이때 빨간 공을 뽑는 확률은 이전과 다릅니다. 우리가 U_I 에서 빨간 공을 뽑는 확률은 입니다. 수식으로는 P(빨간공 | U_I) = 입니다. 세로막대 |는 “x가 일어났을 때(given)”라는 의미입니다. 조건부(머신 러닝과 통계학에서 주로 사용하는 표현)는 발생할 수 있는 단순 사건의 하위 집합에 문제를 한정합니다. 이 경우 조건은 동전을 던져 앞이 나오는 경우가 되는 것이지요.

항아리 U_I에서 빨간 공을 뽑을 확률은 얼마일까요? 이를 계산하기 위해서는 (1) 동전을 던져 앞이 나와 항아리 U_I을 골라야 하고 (2) 빨간 공을 뽑아야 합니다. 동전을 던지는 것이 항아리 U_I 사건에 영향을 주지는 않습니다. 동전을 던져 뽑는 것은 항아리 U_I이지 그 안에 든 공은 아니니까요. 두 사건이 서로 독립이므로, 둘의 확률을 곱해 두 사건이 발생할 결합 확률을 구할 수 있습니다. 그러므로 P(빨간공과 U_I) = P(빨간공 | U_I)P(U_I ) = · = 입니다. 순서가 조금 이상해 보일 수도 있습니다. U_I에 의존하는 사건을 먼저, 그리고 U_I을 그다음에 썼습니다. 수식은 보통 이 순서로 되어 있습니다. 왜 그럴까요? 가장 큰 이유는 | U_I 을 P(U_I ) 옆에 쓸 수 있기 때문입니다. 다이어그램을 볼 때 아래에서 위로 올라가는 식이라고 생각하면 이해하기 쉽습니다.