2.4.2 독립

주사위 두 개를 굴리면 흥미로운 일들이 벌어집니다. 두 주사위는 대화하거나 서로의 행동에 영향을 받지 않습니다. 첫 번째 주사위를 굴려 1이 나왔다고 해서 다른 주사위의 값들이 가진 확률이 변하지는 않습니다. 이러한 개념을 독립이라고 합니다. 두 사건은 서로 독립입니다.

두 주사위를 굴려 나온 눈을 합하는 경우를 생각해 봅시다. 결괏값은 2(둘 다 눈이 1인 경우)와 12(둘 다 눈이 6인 경우) 사이입니다. 합이 2일 확률은 얼마일까요? 경우의 수를 세어 봅시다. 모든 경우의 수는 36(주사위마다 경우의 수는 6)이고, 총합이 2인 경우는 둘 다 1이 나오는 경우 하나뿐입니다. 그래서 P(2) = 입니다. 주사위는 서로 대화하거나 영향을 주고받지 않기 때문에, 첫 번째 주사위에서 1을 얻고 두 번째 주사위에서 1을 얻는 P(I₁)P(I₂) = · = 로 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 두 사건이 독립이라면, 각 확률을 곱해서 두 사건이 모두 발생할 결합 확률을 구할 수 있습니다. 또 확률들을 곱했을 때 경우의 수를 세는 방식으로 계산한 것과 동일한 확률을 얻었다면, 이 사건들은 서로 독립이라는 사실을 알 수 있습니다. 독립 확률은 양방향으로 작동합니다. 즉, 필요충분조건입니다.

총합이 3일 확률 P(3)을 계산하기 위해서는 (1) 서로 다른 사건의 확률 합과 (2) 사건의 독립성이라는 두 가지 아이디어를 조합해야 합니다. 경우의 수를 세는 방법을 사용하면 P(3)의 경우의 수는 두 가지입니다. (I, II) 혹은 (II, I)을 굴리는 경우이므로 확률은 = 입니다. 확률 계산 방식으로 하면 다음과 같습니다.

휴, 답을 검증하는 데 계산을 조금 많이 해야 하는군요. 우리는 종종 계산 횟수를 줄이기 위해 지름길을 이용할 것입니다. 지름길은 때로는 문제에 대한 지식에서 얻기도 하고 또는 지금까지 본 확률 법칙을 똑똑하게 이용해서 얻기도 합니다. 여러분이 풀고자 하는 문제에 곱셈이 보인다면, 두 주사위 시나리오를 머릿속에 떠올려 보세요. 주사위 같은 시나리오라면 확률을 곱할 수 있습니다.